一種在弦上測量邊界態(tài)的方法
【專利摘要】本發(fā)明邊界態(tài)研究領域，具體地來講為一種在弦上測量邊界態(tài)的方法。該方法包括:將一維周期弦兩端加載固定邊界條件；在周期弦上加載交流信號形成閉合回路；將周期弦置于磁場中；改變交流信號的電流頻率，使得周期弦在磁場內(nèi)振動；記錄周期弦每次共振時的電流頻率。本發(fā)明實現(xiàn)采用實驗手段真正第一次觀測到邊界態(tài)的存在，而且隨著位相的改變，可以很清晰的看到邊界態(tài)從弦的一端移至弦的另一端，并與理論計算能夠符合。
【專利說明】
_種在弦上測量邊界態(tài)的方法
技術領域
[0001 ]本發(fā)明邊界態(tài)研究領域，具體地來講為一種在弦上測量邊界態(tài)的方法。
【背景技術】
[0002] 近幾年有很多人在做一維拓撲絕緣體和二維拓撲絕緣體的模擬。由于一維體系的 邊界態(tài)是零維的，所以沒有辦法在一維體系中研究其輸運性質(zhì)。然而，一維體系的這個不足 之處卻剛好可以利用其來模擬二維體系的波矢ky那一項，而且特別易于控制。可以對比一 下，在二維體系模擬中，由于無法獲得關于ky的信息所以只能用透射能譜來代替，但是從透 射譜中是無法獲知邊界態(tài)到底是不是拓撲連續(xù)的。
[0003] 另外一個困難就是在電磁波模擬時沒有辦法直接測量拓撲不變量。在電子體系中 可以通過測量其量子霍爾電導得到其拓撲不變量的信息。然而在電磁波中并沒有與量子霍 爾電導相對應的參量，所以體拓撲不變量只能通過布洛赫波得到。雖然也有很多研究者希 望通過間接的手段在理論或者實驗上努力找到一種更好的測量拓撲不變量的方法，但是沒 有看到文獻記載有嘗試直接測量布洛赫波來獲得體拓撲不變量的。
[0004] 以上這些困難都使得在電磁波體系中觀測拓撲相變得更加不容易。發(fā)現(xiàn)如果用經(jīng) 典的弦振動來模擬拓撲相，以上所有的困難都將不復存在。首先，經(jīng)典弦振動中駐波的本征 頻率可以很容易測量，而且映射到一維體系的參量ky也很容易控制，因此可以通過直接測 量邊界態(tài)關于參數(shù)ky的函數(shù)變量來獲得連續(xù)的邊界態(tài);其次，固定邊界條件下的駐波是很 容易測量的，然后可以由測得的結果得到相同本征值對應本征方程的另外一個線性無關的 解，由這兩個解進行恰當?shù)木€性組合就可以得到布洛赫波，通過這種方法體態(tài)的拓撲不變 量就很容易獲得。
[0005] 用一維周期性弦研究拓撲相的部分理論，周期性密度的弦的本征方程可以寫成如 下形式
[0007] 其中p(x，ky)是關于x的周期函數(shù)，《是弦振動的角頻率，ky是個變量，當ky改變231 時，相應的弦位置就平移了一個周期。
[0008] 由于所采用的模型給出的一維周期弦是一個余弦函數(shù)，實驗實現(xiàn)上比較復雜。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0009] 本發(fā)明所要解決的技術問題在于提供一種在弦上測量邊界態(tài)的方法，實現(xiàn)采用實 驗手段真正第一次觀測到邊界態(tài)的存在，而且隨著位相的改變，可以很清晰的看到邊界態(tài) 從弦的一端移至弦的另一端，并與理論計算能夠符合。
[0010] 本發(fā)明是這樣實現(xiàn)的，一種在弦上測量邊界態(tài)的方法，該方法包括：
[0011] 將一維周期弦兩端加載固定邊界條件；
[0012] 在周期弦上加載交流信號形成閉合回路；
[0013] 將周期弦置于磁場中；
[0014] 改變交流信號的電流頻率，使得周期弦在磁場內(nèi)振動；
[0015] 記錄周期弦每次共振時的電流頻率。
[0016] 進一步地，所述周期弦的原胞長度為a，總長L = Na+d，其中N為整數(shù)，dG(〇，a)，NS 整數(shù)。
[0017]進一步地，所述交流信號為正弦信號或方波信號。
[0018] 進一步地，周期弦的兩端固定在劈尖上，一個周期內(nèi)弦的質(zhì)量不同是通過在弦上 包裹錫紙實現(xiàn);弦的本征振動是通過在弦上增加交變電流，并在弦的下方放置磁鋼實現(xiàn)。
[0019] 進一步地，將周期弦的長度固定且等于整數(shù)倍的原胞長度a，把周期弦基頻取成單 位頻率1，通過移動周期弦，改變周期弦的波矢k y，其中ky為對應二維體系的y軸的波矢，測量 得到周期弦頻帶帶隙中弦兩端的邊界態(tài)的條數(shù)，得到每端邊界態(tài)的條數(shù)等于該帶隙下所有 頻帶的陳數(shù)和。
[0020] 進一步地，周期性弦密度的本征方程采用如下的形式：
[0022] 其中p(x，ky)是關于X的周期函數(shù)，《是弦振動的角頻率，ky是個變量，當ky改變231 時，相應的弦位置平移一個周期，X為弦上任意一點的位置；
[0023] 周期弦的密度取如下函數(shù)：
[0025]其中mo是常數(shù)為弦密度，n取整數(shù)，kx、ky分別對應二維體系兩個維度上的波矢。 [0026]進一步地，通過理論驗證陳數(shù)與測量的一致性，包括:在周期性邊界條件下，給定 波矢ky，則周期性密度的弦的本征方程的解選為布洛赫波的形式表述，波矢k x和波矢ky函數(shù) 的本征值構成二維頻帶，數(shù)值模擬最低的三個頻帶的頻譜，計算出并給出相應第一頻帶和 第二頻帶的貝里曲率，在二維布里淵區(qū)k xG[0,2Va]和kyG[0,23i]對能帶的貝里曲率積分 得到頻帶的陳數(shù)。
[0027]進一步地，當周期弦的長度L為原胞長度為a時，兩端的波函數(shù)的斜率決定邊界態(tài) 的位置，斜率大一端為邊界態(tài)所在端。
[0028]本發(fā)明與現(xiàn)有技術相比，有益效果在于:本發(fā)明能夠真正第一次觀測到邊界態(tài)的 存在，而且隨著位相的改變，可以很清晰的看到邊界態(tài)從弦的一端移至弦的另一端，比較了 測量的弦的本征頻率與數(shù)值模擬的結果，符合的很好。
【附圖說明】
[0029] 圖1為本發(fā)明實施例提供的頻帶及基態(tài)貝里曲率；圖1(a)是最低的三個頻帶的頻 譜，圖1(b)與圖1(c)分別是相應第一頻帶和第二頻帶的貝里曲率。
[0030] 圖2為本發(fā)明實施例提供的弦的邊界態(tài)(兩圖中同時給出了數(shù)值模擬和實驗測得 的本征頻率；圖2(a)和圖2(b)對應的分別是第一帶隙和第二帶隙；實現(xiàn)和虛線表示的是計 算得到的邊界態(tài)對應的處在弦的右端和左端的邊界態(tài)頻率，實心圓和空心圓表示的分別是 實驗測得的弦的右端和左端的邊界態(tài)頻率;計算和實驗測得的體態(tài)頻率分別用點線和方框 表示）；
[0031] 圖3為本發(fā)明實施例提供的邊界態(tài)波函數(shù)；
[0032] 圖4為本發(fā)明實施例提供的L = a的邊界態(tài)能譜（當L = a時，實驗測量和數(shù)值模擬得 到的弦的本征頻率，實心圓點對應的是實際測量得到的頻率；由于數(shù)值計算的本征頻率依 賴于mo,為了與數(shù)值測量結果匹配比較，我們對數(shù)值模擬結果進行了等比縮小;實線（點線） 表示的是邊界態(tài)在弦的右端(左端)數(shù)值模擬的頻率；
[0033]圖5為本發(fā)明實施例提供的L= 12.5a的邊界態(tài)能譜（當L= 12.5a時，實驗測量和數(shù) 值模擬的本征態(tài)頻譜）。
【具體實施方式】
[0034]為了使本發(fā)明的目的、技術方案及優(yōu)點更加清楚明白，以下結合實施例，對本發(fā)明 進行進一步詳細說明。應當理解，此處所描述的具體實施例僅僅用以解釋本發(fā)明，并不用于 限定本發(fā)明。
[0035] -種在弦上測量邊界態(tài)的方法，該方法包括：
[0036] 將一維周期弦兩端加載固定邊界條件；
[0037] 在周期弦上加載交流信號形成閉合回路；
[0038]將周期弦置于磁場中；
[0039] 改變交流信號的電流頻率，使得周期弦在磁場內(nèi)振動；
[0040] 記錄周期弦每次共振時的電流頻率。
[0041] 實際測量將弦的兩端固定在劈尖上，ky的改變靠移動弦來實現(xiàn)，一個周期內(nèi)弦的 質(zhì)量不同是通過在弦上包裹錫紙實現(xiàn)的，弦的密度肯定不是嚴格相等的，但在小的無序作 用下由于邊界態(tài)的拓撲保護性，所以弦的密度的微擾不會對測量結果造成明顯的影響。
[0042] 弦的本征振動是通過在弦上增加交變電流，并在弦的下方放置磁鋼實現(xiàn)的，只有 當線上通過的電流頻率與弦的本征頻率相接近時，才可以用肉眼明顯觀測到弦的本征振 動，電流頻率與弦的本征頻率越接近振動幅度越大，當電流頻率等于弦的本征頻率時，形成 共振，振動幅度最大，此時記錄下電流的頻率就可以認為是弦的本征頻率。
[0043] -維周期性密度的弦的本征方程可以寫成如下形式
[0045]其中P(x，ky)是關于X的周期函數(shù)，《是弦振動的角頻率，ky是個變量，當ky改變231 時，相應的弦位置就平移了一個周期。
[0046]本發(fā)明實施例實驗中使用了一個簡化的理論模型，弦的密度取如下函數(shù)
[0048]其中mo是常數(shù)，n取整數(shù)，在周期性邊界條件下，如果給定ky，則方程(1)的解可以選 為布洛赫波的形式
[0050] 這樣作為kx和ky函數(shù)的本征值就構成了二維頻帶，而且會有帶隙出現(xiàn)，數(shù)值模擬了 最低的三個頻帶的頻譜，并給出了相應第一頻帶和第二頻帶的貝里曲率，
[0051] 如圖1所示。圖1(a)是最低的三個頻帶的頻譜，圖1(b)與圖1(c)分別是相應第一頻 帶和第二頻帶的貝里曲率。在二維布里淵區(qū)k xG [0,2Va]和kyG [0,23i]對能帶的貝里曲率 積分可以得到頻帶的陳數(shù)，每個頻帶的陳數(shù)都是1。這也很容易理解，當將ky改變A ky時相應 的弦移動了 Akya/231，在這個過程當中每個能帶的瓦尼爾函數(shù)也平移了 Akya/231，一個能帶 的陳數(shù)可以定義為隨著相位ky改變一個周期時瓦尼爾函數(shù)的中心位置的連續(xù)改變，下面對 此做簡要推導。貝里曲率為
[0052]
[0053] 上式說明當波函數(shù)％^&)發(fā)生相變時，貝里曲率Fn(kx，ky)為常數(shù)，根據(jù)k x在布洛 赫函數(shù)中的周期性，可以得到
[0057] 在第一布里淵區(qū)對(6)式進行積分，由于kx的周期性邊界條件，（6)式中第二項積 分后等于零，在k yG[0,23i]上積分又得到陳數(shù)的定義式
[0058]
[0059] 通過上式可以看出，能帶的陳數(shù)可以這樣定義：即當ky改變一個周期時，瓦尼爾函 數(shù)中心位置的連續(xù)改變量?？梢郧宄牡玫竭@樣一個結論，當k y改變一個周期時，所有能帶 的瓦尼爾函數(shù)的中心也改變了一個周期a，這樣很容易得到所有能帶的陳數(shù)都是1。
[0060] 當使用固定邊界條件時，如果體態(tài)的某條帶隙以下的陳數(shù)和不等于零的話，那么 在該帶隙處會出現(xiàn)連續(xù)的邊界態(tài)，此時在弦的某一側(cè)的邊界態(tài)的條數(shù)等于這一側(cè)該帶隙下 所有能帶的陳數(shù)和。那么圖4-5對應固定邊界條件下頻帶中弦的每個端點的第一帶隙和第 二帶隙對應的邊界態(tài)的條數(shù)都是1和2。圖2中數(shù)值模擬結果很好的驗證了這個結論。
[0061] 圖2同時給出了測量的弦的第一帶隙和第二帶隙中的邊界態(tài)。實驗用的弦的周期 長度a = 40cm，總長為12a。由于實驗條件的限制，使用一高精度的信號發(fā)生器當作信號源， 經(jīng)過一個放大電路后，得到所需的電壓然后把電壓加在測量的周期弦上，加上保護電路形 成閉合回路，按照理論實驗用正弦信號效果最好，本實驗過程中使用的是方波信號。
[0062] 測量的實驗裝置為弦的兩端固定在劈尖上，ky的改變靠移動弦來實現(xiàn)，一個周期 內(nèi)弦的質(zhì)量不同是通過在弦上包裹錫紙實現(xiàn)的，所以圖中的弦的密度肯定不是嚴格相等 的，但正如之前所說的在小的無序作用下由于邊界態(tài)的拓撲保護性，所以弦的密度的微擾 不會對測量結果造成明顯的影響。
[0063] 弦的本征振動是通過在弦上增加交變電流，并在弦的下方放置磁鋼實現(xiàn)的，只有 當線上通過的電流頻率與弦的本征頻率相接近時，才可以用肉眼明顯觀測到弦的本征振 動，電流頻率與弦的本征頻率越接近振動幅度越大，當電流頻率等于弦的本征頻率時，形成 共振，振動幅度最大，此時記錄下電流的頻率就可以認為是弦的本征頻率。
[0064] 圖2中比較了測量的本征頻率與數(shù)值模擬的結果，符合的很好。圖2中圖2(a)和圖2 (b)兩圖分別給出了第一帶隙和第二帶隙及其中的邊界態(tài)。圖2中實線和虛線分別表示的是 數(shù)值模擬的弦的右邊界態(tài)和左邊界態(tài)，圓點和方框?qū)氖菍嶋H測量得到的弦的右側(cè)和左 側(cè)的邊界態(tài)。數(shù)值模擬和實際測量的體態(tài)分別用點線和方框表示出來。因為當弦的長度固 定且等于整數(shù)倍的原胞長度a時，弦的基頻與k y的位置有關，而弦的本征頻率與基頻的比值 是與mo的取值無關的，圖中把基頻取成了單位頻率1。從圖中可以看出雖然只是測量了很有 限的幾個k y的值，但實驗測量值與數(shù)值模擬的結果符合的非常好。鑒于實驗測量與理論模 擬的完美符合，可以認為邊界態(tài)能譜與體能帶是連接的，這樣可以認為邊界態(tài)是連接上下 能帶的連續(xù)頻譜。
[0065] 在現(xiàn)有技術的理論文章中曾指出邊界態(tài)能譜與弦的周期個數(shù)是無關的，這個結論 與測量弦的邊界態(tài)的波函數(shù)時得到的結果是一致的，使用12個周期測量弦的邊界態(tài)的波函 數(shù)結果如圖3所示。
[0066] 實際上在測量邊界態(tài)能譜時可以通過測量僅有一個周期的弦得到，此時所有的體 態(tài)都消失了，所有的本征態(tài)對應的都是邊界態(tài)，此時的基頻對應的就是第一帶隙中的邊界 態(tài)，測量了此時的最低的一個邊界態(tài)，并與理論值進行了對比，如圖4所示。由于基頻依賴于 mo,對數(shù)值模擬結果進行縮放得到圖4。由于弦具有非常好的可操控性，現(xiàn)有的理論曾提到 可以用弦來模擬量子霍爾體系中的很多新奇的特性，曾提到在非公約情況下，右邊界態(tài)的 位置是關于位相k y的函數(shù)，與公約情況下相比邊界態(tài)的位置會發(fā)生平移。
[0067] 圖4的邊界態(tài)能譜（當L = a時，實驗測量和數(shù)值模擬得到的弦的本征頻率，實心圓 點對應的是實際測量得到的頻率；由于數(shù)值計算的本征頻率依賴于，為了與數(shù)值測量結果 匹配比較，對數(shù)值模擬結果進行了等比縮小；實線（點線）表示的是邊界態(tài)在弦的右端（左 端)數(shù)值模擬的頻率；
[0068]用弦模擬了非公約情況下量子體系的長度對邊界態(tài)的影響，使用的弦長為L = Na+ d，其中N為整數(shù)，dG(〇，a)，數(shù)值模擬的結果顯示，當弦長足夠長時，左側(cè)邊界態(tài)基本不會受 到非公約情況的影響，而弦右側(cè)邊界態(tài)的頻譜卻和相位k y的取值相關，其位置與公約情況 下相比精確向右平移了 a-d的距離。所有這些弦的特性都和量子體系中的情況類似。因為在 量子情況下，格點的長度只能取一些分離的值，所以在實際研究過程中，根據(jù)弦的可連續(xù)操 控的特性可以用弦更加準確模擬邊界態(tài)的平移特性。
[0069]為了在實驗上驗證其正確性，做了如下實驗，取弦長為L= 12.5a，數(shù)值模擬的結果 顯示邊界態(tài)只是近似滿足上述規(guī)律，這是因為弦長L=12.5a還不是足夠長，圖5給出的模擬 結果顯示，邊界態(tài)隨著ky的改變產(chǎn)生了平移。圖5同時給出了實驗結果，從圖中可以看出實 驗結果與數(shù)值模擬結果吻合的非常好。圖5使用了與圖2相同的符號進行表示，由于本征頻 率與m Q有關，為了清楚的比較實驗與數(shù)值模擬的結果是否匹配，在作圖時對數(shù)值模擬結果 進行了適當縮放，實線和虛線分別表示弦兩端對應的右邊界態(tài)和左邊界態(tài)的頻譜。
[0070]以上所述僅為本發(fā)明的較佳實施例而已，并不用以限制本發(fā)明，凡在本發(fā)明的精 神和原則之內(nèi)所作的任何修改、等同替換和改進等，均應包含在本發(fā)明的保護范圍之內(nèi)。
【主權項】
1. 一種在弦上測量邊界態(tài)的方法，其特征在于，該方法包括： 將一維周期弦兩端加載固定邊界條件； 在周期弦上加載交流信號形成閉合回路； 將周期弦置于磁場中； 改變交流信號的電流頻率，使得周期弦在磁場內(nèi)振動； 記錄周期弦每次共振時的電流頻率。2. 按照權利要求1所述的方法，其特征在于， 所述周期弦的原胞長度為a，總長L = Na+d，其中N為整數(shù)，(1￡(〇，&)4為整數(shù)。3. 按照權利要求1所述的方法，其特征在于， 所述交流信號為正弦信號或方波信號。4. 按照權利要求1所述的方法，其特征在于， 周期弦的兩端固定在劈尖上，一個周期內(nèi)弦的質(zhì)量不同是通過在弦上包裹錫紙實現(xiàn)； 弦的本征振動是通過在弦上增加交變電流，并在弦的下方放置磁鋼實現(xiàn)。5. 按照權利要求1所述的方法，其特征在于，將周期弦的長度固定且等于整數(shù)倍的原胞 長度a，把周期弦基頻取成單位頻率1，通過移動周期弦，改變周期弦的波矢k y，其中ky為對應 二維體系的y軸的波矢，測量得到周期弦頻帶帶隙中弦兩端的邊界態(tài)的條數(shù)，得到每端邊界 態(tài)的條數(shù)等于該帶隙下所有頻帶的陳數(shù)和。6. 按照權利要求1~5任意一項所述的方法，其特征在于，周期性弦密度的本征方程采 用如下的形式：其中P ( X，ky)是關于X的周期函數(shù)，《是弦振動的角頻率，ky是個變量，當ky改變231時，相 應的弦位置平移一個周期，X為弦上任意一點的位置； 周期弦的密度取如下函數(shù)：其中mo是常數(shù)為弦密度，n取整數(shù)，kx、ky分別對應二維體系兩個維度上的波矢。7. 按照權利要求6所述的方法，其特征在于，通過理論驗證陳數(shù)與測量的一致性，包括： 在周期性邊界條件下，給定波矢ky，則周期性密度的弦的本征方程的解選為布洛赫波的形 式表述，波矢k x和波矢ky函數(shù)的本征值構成二維頻帶，數(shù)值模擬最低的三個頻帶的頻譜，計 算出并給出相應第一頻帶和第二頻帶的貝里曲率，在二維布里淵區(qū)k xG[〇,2Va]和kyG[〇， 2JI ]對能帶的貝里曲率積分得到頻帶的陳數(shù)。8. 按照權利要求2所述的方法，其特征在于，當周期弦的長度L為原胞長度為a時，兩端 的波函數(shù)的斜率決定邊界態(tài)的位置，斜率大一端為邊界態(tài)所在端。
【文檔編號】G01R23/16GK106053939SQ201610398530
【公開日】2016年10月26日
【申請日】2016年6月7日
【發(fā)明人】王志宙, 徐天賦, 張世良, 吳東, 吳一東, 劉承師
【申請人】燕山大學