采用序列冪函數(shù)插值方法實現(xiàn)結構多材料拓撲優(yōu)化的方法
【技術領域】
[0001]本發(fā)明涉及工程結構優(yōu)化設計領域，特別涉及一種采用序列冪函數(shù)插值方法實現(xiàn) 結構多材料拓撲優(yōu)化的方法，是一種求解受質(zhì)量和材料費用約束的結構多材料拓撲優(yōu)化問 題的序列冪函數(shù)插值方法。
【背景技術】
[0002] 為了在概念設計階段得到滿足性能要求的最優(yōu)結構，人們對結構多材料拓撲優(yōu)化 進行了深入研究，其中均勻化方法得到了廣泛的應用。但已有的多材料拓撲優(yōu)化方法計算 量都很大，設計變量過多以至于無法滿足工程應用；同時這些方法也沒有考慮材料費用的 約束。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0003] 本發(fā)明的目的在于提供一種采用序列冪函數(shù)插值方法實現(xiàn)結構多材料拓撲優(yōu)化 的方法，解決了現(xiàn)有技術存在的上述問題，提出了序列冪函數(shù)插值方法處理多材料離散變 量結構拓撲優(yōu)化問題，不引入多余設計變量。用序列冪函數(shù)插值方法解決多材料拓撲優(yōu)化 問題，可以實現(xiàn)結構的高剛度、低費用和輕量化，并且與已有的算法相比，計算量更小因而 有望應用于工程實際。
[0004] 本發(fā)明的上述目的通過以下技術方案實現(xiàn)：
[0005] 采用序列冪函數(shù)插值方法實現(xiàn)結構多材料拓撲優(yōu)化的方法，包括步驟如下：
[0006] 步驟一、建立連續(xù)體結構的參數(shù)化有限元模型；
[0007] 步驟二、基于有限元模型建立多材料拓撲優(yōu)化數(shù)學模型；
[0008] 步驟三、構造以密度為自變量的單元彈性模量和材料費用的序列冪函數(shù)插值模 型；
[0009] 步驟四、求出目標函數(shù)、彈性模量、質(zhì)量函數(shù)、費用函數(shù)和單元材料費用等響應的 靈敏度信息；
[0010] 步驟五、根據(jù)Kuhn-Tucker條件導出優(yōu)化準則。
[0011] 步驟一所述的建立連續(xù)體結構的參數(shù)化有限元模型是:結構優(yōu)化設計每一次迭代 都需對結構進行有限元分析，因此，首先對優(yōu)化對象進行有限元建模;將連續(xù)體結構劃分有 限元網(wǎng)格，在單元內(nèi)以節(jié)點位移Ue為未知量構造出位移插值函數(shù)，根據(jù)最小勢能原理導出 單元剛度矩陣L，然后將單元剛度矩陣集成為總體剛度矩陣K，最后建立線性靜態(tài)有限元 方程Ku = P，其中P為結構節(jié)點力向量;多材料拓撲優(yōu)化就是要確定每個單元的材料匹配問 題，屬于離散變量組合優(yōu)化問題，該問題計算量為(m+l) n，其中m為材料的種類，該問題計算 量巨大，以至于無法求解大型工程問題;為了解決該問題，采用帶懲罰的單元密度變量來參 數(shù)化表達材料的選擇，從而將離散變量優(yōu)化問題轉化為連續(xù)變量優(yōu)化問題，降低組合優(yōu)化 原問題的計算量。
[0012] 步驟二所述的基于有限元模型建立多材料拓撲優(yōu)化數(shù)學模型是:在結構質(zhì)量與材
[0013] 料費用的約束下，實現(xiàn)結構的高剛度目標，其優(yōu)化數(shù)學模型如下：
[0014]
[0015] 該優(yōu)化數(shù)學模型以結構應變能c為目標函數(shù)，而結構應變能c是評價剛度的標量， 應變能越小，剛度越大;K，u和P分別是相應結構的有限元總體剛度矩陣，位移向量和節(jié)點力 向量;k〇和Ue分別是不含彈性模量因子的單兀剛度矩陣及位移向量;Pe代表第e個單兀的材 料密度，即拓撲優(yōu)化設計變量;匕和G是第e個單元的彈性模量和材料費用，由通過相應的 插值公式得到;I是第e個單元的體積，二維問題中代表面積，Μ和C是當前所設計的結構的 質(zhì)量和費用，Ν為設計變量的個數(shù)，同時也是單元個數(shù)，Mo和Co是設計域內(nèi)充滿材料時的質(zhì) 量和費用；~和^是給定的質(zhì)量和費用系數(shù)，p min是給定的最小非零密度值來避免結構剛度 矩陣的奇異性;優(yōu)化數(shù)學模型增加了材料的費用約束，除了考慮多種材料彈性模量對結構 拓撲形狀的影響之外，同時也考慮了材料費用對結構拓撲形狀的影響。
[0016] 步驟三所述的構造以密度為自變量的單元彈性模量和材料費用的序列冪函數(shù)插 值模型是:首先將所有候選材料的密度變量歸一化[0，1 ]區(qū)間上
[0017]
(2)
[0018] 其中pmax是可選材料中密度的最大值，m是材料種類數(shù)；已建立的優(yōu)化數(shù)學模型要 求結構剛度大、質(zhì)量輕，因此對于彈性模量我們構造出一種下凸的冪函數(shù)
[0019] Et,{p^ = Λ,^ρ'+Β,-. , p>\ 〇)
[0020] p為懲罰因子，是一個人為給定的常數(shù);對于0#[01，01+1]丄和&由下式給出
[0021] (4)
[0022] (5)
[0023] Ei和Ei+1分別是排序后的第i和i+Ι種材料的彈性模量;對于臨時的中間密度，如果 迭代過程中密度稍微增大，彈性模量就會顯著增大；如果密度減小，彈性模量不會顯著減 小，總體效果使得結構的剛度更大而質(zhì)量更??；相應地對于材料費用我們構造出一種上凸 的冪函數(shù)
[0024] Ce(pe)=Acpe(1/p)+Bc，p ee[pmin，l]，p>l (6)
[0025] 其中對于pee [pi，pi+1]，未知系數(shù)Ac和Be由下式確定
[0026] (7)
[0027] (8)
[0028] Ci和Ci+1分別是排序后的第i和i+Ι種材料的費用;對于臨時的中間密度，如果迭代 過程中密度稍微增大，材料費用不會顯著增加;如果密度減小，材料費用會顯著減小，總體 效果使得結構的剛度更大而材料費用更小;這樣可以將臨時的中間密度懲罰掉，使材料變 量趨于插值點處離散的候選材料;該插值方法簡單高效，與已有的多材料拓撲優(yōu)化方法相 比，不引入新的設計變量，所以計算量更小。另外概念簡單，可應用于工程實際問題。
[0029] 步驟四所述的求出目標函數(shù)、彈性模量、質(zhì)量函數(shù)、費用函數(shù)和單元材料費用等響 應的靈敏度息是：
[0030] 結構的應變能C、單元彈性模量Ee、結構質(zhì)量Μ、結構材料費用C及單元材料費用Ce都 是關于設計變量^的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為結構的響應，而響應對設計變量的導數(shù)稱為響應靈 敏度;其中是由設計變量"= 1二…組成的向量，N為單元總數(shù)；
[0031] 應變能函數(shù)c的靈敏度為
[0032]
(9)
[0033]上式中彈性模量Ee(Pe)的靈敏度為
[0034]
(10)[0035] 結構質(zhì)量Μ的靈敏度為
[0039]上式中單元材料費用Ce(pe)的靈敏度為[0040]
(13)
[0036] (Π)
[0037]
[0038] (J2)
[0041 ]至此，得到了所有的靈敏度信息。
[0042] 步驟五所述的根據(jù)Kuhn-Tucker條件導出優(yōu)化準則是:優(yōu)化數(shù)學模型的極值點對 應以下函數(shù)的駐點
[0043]
[0044] 其中AU，AM，，λ/和分別是對應平衡方程約束、質(zhì)量約束、費用約束和變量邊界 約束的拉格朗日乘子;最終，構造以下的迭代格式
[0045]
Π 5；
[0046] 其中η為當前迭代次數(shù);Π 為阻尼系數(shù)；if和是當前迭代步中設計變量的 上下界
[0047]
(16)
[0048] 該準則將柯科賈用約來C S ecCo也添加到（15)式的迭代格式中，并成功采用二分法 求解含有質(zhì)量與費用兩個約束的非線性方程組。目前傳統(tǒng)方法只能采用二分法求解含有單 個質(zhì)量約束的非線性方程組。
[0049]本發(fā)明的有益效果在于：相比于已有的多材料拓撲優(yōu)化方法，本發(fā)明中用到的設 計變量更少，因此計算量也會減少許多。這就可以將該拓撲優(yōu)化方法運用到大型結構的設 計中。另外，本發(fā)明除了考慮質(zhì)量約束以外，還考慮了材料費用約束，因此最終得到的結構， 不僅剛度大、質(zhì)量輕，而且材料費用不會增加。實用性強。
【附圖說明】
[0050] 此處所說明的附圖用來提供對本發(fā)明的進一步理解，構成本申請的一部分，本發(fā) 明的示意性實例及其說明用于解釋本發(fā)明，并不構成對本發(fā)明的不當限定。
[0051] 圖1為彈性模量的線性插值與冪函數(shù)插值；
[0052] 圖2為彈性模量的序列冪函數(shù)插值；
[0053]圖3為材料費用的線性插值與冪函數(shù)插值；
[0054] 圖4為材料費用的序列冪函數(shù)插值；
[0055] 圖5為兩種材料彈性模量和費用插值曲線的四種不同情況；
[0056] 圖6為橋梁結構拓撲優(yōu)化問題；
[0057] 圖7為橋梁結構有限元模型；
[0058] 圖8為表格1中材料屬性插值曲線；
[0059] 圖9為迭代過程；
[0060] 圖10為目標函數(shù)值的比較；
[0061] 圖11為質(zhì)量分數(shù)的比較；
[0062]圖12為材料費用的比較。
【具體實施方式】
[0063]下面結合附圖進一步說明本發(fā)明的詳